沉寂四十年,海尔布隆三角问题找到了更小的上界

AI行业动态5个月前发布 ainavi
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一项新的证明打破了几十年来海尔布隆三角问题的上界,虽然数值上只是突破了一点,但却是三角问题的一大步。
假设有一个里面有一堆点的正方形,取其中的三个点,可以形成一个三角形。取四个点可以定义四个不同的三角形。十个点可以定义 120 个三角形。三角形的数量会随着点的数量增长而快速增,100 个点可以定义 161,700 个不同的三角形。然而,这些三角形中都有一个特定的区域。
汉斯・海尔布隆(Hans Heilbronn)是一名德国数学家,二战前他逃离德国,定居在英国,20 世纪 40 年代末,当他看到窗外有一群士兵时,他想到了一个关于三角形问题。士兵们的杂乱无序让他思考:如果正方形内有士兵,那么其中任意三个人定义的三角形中,最小的那个三角形,在士兵们位置不断变化时最大值是多少?海尔布隆想知道如何安排士兵(或者抽象为点)以最大化这个最小三角形的大小。

沉寂四十年,海尔布隆三角问题找到了更小的上界

                                     Hans Heilbronn。图源:https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heilbronn/pictdisplay/
这个问题被称为海尔布隆三角问题,虽然描述很简单明了,但对该问题的研究一直没什么进展,在 20 世纪 80 年代之后人们几乎不能再找到更新的上限。今年 5 月,三位数学家(Alex Cohen、Cosmin Pohoata 和 Dmitrii Zakharov)宣布了这个最小三角形面积的新上限。爱丁堡大学数学家 Anthony Carbery 说:「我认为这是一个惊人的结果。」
多年来,尽管研究过程耗时颇长,但研究人员一直在研究海尔布隆三角形问题,因为这个问题与其他数学领域存在着关联与交织。亚特兰大埃默里大学教授 Pohoata 说:「与海尔布隆三角问题相关的东西让它变得生动起来。」它与交叉形状的问题密切相关,而相交形状又与数论和傅里叶分析有关。傅里叶分析研究由简单波构建的复杂函数。
麻省理工学院的研究生 Cohen 去年偶然发现了突破口。他一直在阅读克劳斯・罗斯(Klaus Roth)对海尔布隆三角问题的研究。克劳斯・罗斯(Klaus Roth)是另一位纳粹难民,他小时候就已经逃往英国。(Roth 于 2015 年去世,是第一位获得菲尔兹奖的英国数学家。)沉寂四十年,海尔布隆三角问题找到了更小的上界                                            Alex Cohen
Cohen 用一张简单的图片可视化了 Roth 所做研究中的想法:有一个被两个条形区域交叉的正方形,并且每个条形区域中间都有一条细线。当研究这个图表时,Cohen 意识到这可能与他的导师 Larry Guth 在最近的一次阅读小组会议上提出的想法有关,即便当时 Guth 根本没有谈论三角形。

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                      给定任意两点,用 Roth 的方法可以创造一个条形区域。三角形问题等同于计算出任一条形区域是否包含集合中的第三个点。
Cohen 表示,「我很快意识到这两种方法本质上是等价的。」
有一天,在麻省理工学院数学系的公共休息室里,Cohen 意外地发现,来演讲的 Pohoata 和麻省理工学院的研究生 Zakharov 也一直在研究海尔布隆三角问题。更重要的是,他们找到了相同的突破口。于是三人开始合作,七个月后他们取得了突破。他们的论文产生了更多新的数学领域。牛津大学 Thomas Bloom 说:「他们进行了大量的计算,产生了许多不同的见解。」他预计新论文将促进三角形问题进展的复兴。
被驳回的假设
通过将三个点紧密放在一起,可以很容易使最小的三角形的面积任意小。在最极端的情况下,三个点相互形成一个面积为零的三角形。但是试图保持最小的三角形面积尽可能大却是棘手的问题。当不断地添加更多的点时,最小的三角形将被迫非常小 —— 新的点只能离现有的点很远。通过将正方形分割成 n 个不重叠的三角形,可以相对容易地证明最小的三角形的面积不大于 1/(n−2)。
海尔布隆认为,面积上限应该比这还要小。他猜测,无论这些点如何排列在正方形中,都不可能有一个面积大于 1/n^2 左右的最小三角形,这个数字会随着 n 的增长而极速变小。但是他错了。
1980 年,匈牙利数学家 János Komlós、János Pintz 和 Endre Szemerédi 找到了一个点迹图 ,其中组成的最小三角形的面积略大于 1/n^2。在他们大约同一时间发表的另一篇论文中还表明,n 个点无论怎么排列都不可能创建一个大于 1/n^(8/7) 的最小三角形。当 n 很大时,面积上限远远小于 1/n,但远远大于 1/n^2。
这一结果目前已经保持了 40 多年。Bloom 表示,在这两个方向上更新边界值都非常困难,这需要大量的技术分析和独创性思考。「你很快就会完全陷入困境,」Carbery 补充道。
虽然 1980 年发现的结论仍然是已知的最大的最小三角形的边界值,但 Cohen、 Pohoata 和 Zakharov 他们四十年来第一次成功地降低边界的上界。
殊途同归的研究者们
Pohoata 早在遇到 Cohen 前就已经研究海尔布隆三角问题两年了。2020 年夏天,他让耶鲁大学的暑期研究学生去研究这个问题的高维版本,例如缩小分散在三维立方体中分散的点中出现的最大的最小体积形状。

沉寂四十年,海尔布隆三角问题找到了更小的上界

                             在 2022 年秋天与 Alex Cohen 合作时,Cosmin Pohoata(如图)与 Dmitrii Zakharov 就已经研究三角问题多年了。
作为该项目的一部分,Pohoata 重新审视了之前关于这个问题的所有工作。早在 1951 年,Roth 就把对小三角形的搜索分成了两部分:首先找到一对点来形成三角形的底,然后找到第三个点来完成三角形。该策略本质上是将寻找一个大的最小三角形作为对相交的点和矩形的研究。这种方法在 1972 年被 Wolfgang Schmidt 改进了。
在阅读 Schmidt 的论文时,Pohoata 意识到了其与一种称为「高低法」的联系,这种方法是 Guth 及其合作者在 2017 年开发的一种技术,用于估计矩形条带集合和磁盘集合之间的重叠。「那真是灵光乍现的时刻」,他说。
2021 年,Pohoata 向 Zakharov 提出了他的想法。当 Zakharov 还在莫斯科读本科时,两人就开始着手一起发表论文了。「Zakharov 做了一些了不起的事情,」斯坦福大学的数学家雅各布・福克斯(Jacob Fox)说。
Zakharov 最初对海尔布隆三角形问题持悲观态度。「我想,好吧,这个 8/7 在那里已经保持了 40 年,我何德何能来突破它呢?最开始我只是想了解这个值背后的原理。」
2022 年 10 月,Cohen、Pohoata 和 Zakharov 相遇后,很快发现了 Komlós、Pintz 和 Szemerédi 遇到的障碍。Cohen 说:「点迹的某种安排,导致了在最坏的情况下,他们不能在 8/7 上更进一步。」「这些点既可以集中起来,也可以分散开来。当它是这两种情况的某种组合时情况变得有些棘手。」这种排列会产生大范围的点分布,但如果放大单位方块内的小子方块,可以看到有序的模式。
Cohen、Pohoata 和 Zakharov 意识到,他们可以通过研究小点簇的维度来取得进展。对于非数学家来说,维度总是整数:一张纸是二维的,粘土砖是三维的。当你考虑到一组点的维数时,事情可能变得很奇怪。单个点通常被认为是零维,但是两个有限的点集可以有完全不同的结构。一个点集可能有 10 个点严格地沿着一条直线行进,而另一个可能有 10 个点散布在一个矩形区域内。
为了能描述各种各样的点集、定义点集的结构,20 世纪早期的数学家菲利克斯・豪斯多夫(Felix Hausdorff)提出了一个新的维数概念。根据这个定义,一条直线上的 10 个点是一维的,而在一个正方形上均匀分布的 10 个点是二维的。但在这个世界上,维数不一定是整数,一个一维的集合可能不是线性的,而是分层的,有无限层复杂的图案。点的集合甚至可以具有大于 0 但小于 1 的维度。
Cohen、Pohoata 和 Zakharov 发现了约翰・马尔斯特兰(John Marstrand)的 1953 年定理 ,该定理改写了 Komlós、Pintz 和 Szemerédi’s 的估计方法,但只适用于维度大于 1 的情况。为了进一步改进估计方法,Cohen、Pohoata 和 Zakharov 需要找到一些方法将 Marstrand 的结果推广到维数小于 1 的集合。
无心栽柳的发现
Cohen、Pohoata 和 Zakharov 的工作不久迎来转机,一篇由 Tuomas Orponen、Pablo Shmerkin 和 hong wang 的论文将马 Marstrand 已经存在 70 年的定理扩展到维数小于 1 的集合。
Cohen 直到今年 2 月份才知道这项工作,然后他就很快把它传给了 Pohoata 和 Zakharov。到 5 月底,他们已经在网上发布了他们的论文,证明了单位平方中 n 个点中最小的三角形面积永远不能大于 1/n^(8/7 + 1/2000)。
Shmerkin 看到这篇三角形工作后,顺手就读了起来。在这之前,他甚至没有意识到海尔布隆三角问题的存在,所以当他发现文章里引用了他的证明时,他感到很惊讶。「这并不是对我们所做的工作的直接应用,其中有很多深刻的、创造性的和技术性的工作。」
Bloom 也对此印象深刻,「我本可以多看一会那篇论文,我当时没有联想到,这也适用于三角形问题。」
虽然新的结果只使 Komlós、Pintz 和 Szemerédi 的指数提高了一小部分,但海尔布隆三角问题仍然处于低迷期。「看到这个工作之后,你会说这有什么,看起来和 1982 年的结果也没有什么区别。但自 1982 年以来这么长一段时间,才有了这一个可贵的突破。」Carbery 说。

原文链接:https://www.quantamagazine.org/the-biggest-smallest-triangle-just-got-smaller-20230908/
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