制作莫比乌斯环,最少需要多长纸带?50年来的谜题被解开了

AI行业动态8个月前发布 ainavi
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自己动手做过莫比乌斯带吗?

莫比乌斯带是一种奇特的数学结构。要构造一个这样美丽的单面曲面其实非常简单,即使是小孩子也可以轻松完成。你只需要取一张纸带,扭曲一次,然后将两端粘在一起。然而,这样容易制作的莫比乌斯带却有着复杂的性质,长期吸引着数学家们的兴趣。
最近,研究人员一直被一个看似简单的问题困扰着,那就是关于制作莫比乌斯带所需纸带的最短长度?布朗大学 Richard Evan Schwartz 谈到,对于莫比乌斯带来说,这个问题没有解决,因为它们是「嵌入的」而不是「浸入的」,这意味着它们不会相互渗透或自我相交。莫比乌斯带实际上是一个全息图,一种投影到三维空间的图形:对于「浸入的」的莫比乌斯带,多层带可以彼此重叠,有点像幽灵穿过墙壁;对于「嵌入的」的而言,没有这样的重叠。
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1977 年,数学家 Charles Sidney Weaver 和 Benjamin Rigler Halpern 提出了这个关于最小尺寸的问题,并指出如果允许莫比乌斯带自相交,那么这个问题就简单了。那么,剩下的问题就是要确定需要多少空间来避免自交。Halpern 和 Weaver 曾提出了一个最小尺寸,但他们无法证明这一想法,因此被称为 Halpern-Weaver 猜想。
Schwartz 在四年前首次了解到这个问题,在得知后就被这个问题深深吸引住。现在,他的兴趣已经变为新的成果了。
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论文地址:https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf
他在 2023 年 8 月 24 日发布在 arXiv.org 上的一份预印本论文中证明了 Halpern-Weaver 猜想。他证明了用纸制成的「嵌入的」莫比乌斯带只能以大于制作莫比乌斯环,最少需要多长纸带?50年来的谜题被解开了的纵横比构造出来。例如,如果带子长度为 1 厘米,它的宽必须要大于制作莫比乌斯环,最少需要多长纸带?50年来的谜题被解开了厘米。
解决这个难题需要数学创造力。当人们采用标准方法来解决这类问题时,很难通过公式来区分自相交和非自相交的曲面。具备 Schwartz 的几何视觉才能够克服这个困难,但这是很罕见的。
在 Schwartz 的证明中,他设法将问题分解为可以处理的部分,每个部分基本上只需要基本几何知识来解决。
其实,在找到成功的策略之前,Schwartz 在几年里断断续续地尝试了其他策略。他最近决定重新审视这个问题,因为他一直觉得他在 2021 年的一篇论文中使用的方法应该是有效的。
 
显然,他的直觉是正确的。当他重新研究这个问题时,他注意到在以前的论文中涉及 T 型图的引理中存在一个错误。通过纠正这个错误,Schwartz 迅速而轻松地证明了 Halpern-Weaver 猜想。Schwartz 自己也说,如果不是因为那个错误,他三年前就能解决了这个问题。制作莫比乌斯环,最少需要多长纸带?50年来的谜题被解开了
                                                          论文中的 T 型图
 
在本次证明中,T 型图引理是关键。这个引理基于一个基本的想法:莫比乌斯带上有些直线被称为直纹曲面。Schwartz 指出在空间中的纸带,即使它在某些复杂的位置,在每个点上仍然都有一条直线穿过它,你可以想象画这些直线,让它们横穿莫比乌斯带并在两端触及边界。
在之前的工作中,Schwartz 确定了两条互相平行并且在同一个平面上的直线,它们在每个莫比乌斯带上形成了一个 T 型图案。他指出,这些东西存在并不明显,需要证明它们存在,这也是证明引理的第一部分。
下一步是建立并解决优化问题,需要沿着带宽度延伸的线段以一个角度切开一个莫比乌斯带,并得到最终的形状。Schwartz 在 2021 年的论文中错误地得出了这个形状是平行四边形的结论。
今年夏天,Schwartz 决定尝试不同的策略。他开始尝试把莫比乌斯带压扁。如果能够证明可以将它们压成平面,这个复杂的问题将简化为一个更容易处理的平面问题。在实验中,Schwartz 切开了一个莫比乌斯带,并意识到它不是平行四边形,而是一个梯形。
最终,这个 50 年来的问题得到了解答。尝试解决一个长期未解决的问题是需要勇气的,而这正是 Schwartz 在数学上的优势:他喜欢研究那些看起来相对容易但其实很难的问题。他会看到以前研究者没有注意到的问题。

参考链接:https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-50-year-old-moebius-strip-puzzle1/
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